MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [551]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

Em física, a conexão de Berry e a curvatura de Berry são conceitos relacionados que podem ser vistos, respectivamente, como um potencial de gauge local e um campo de gauge associado à fase de Berry ou fase geométrica.^[1] Esses conceitos foram introduzidos por Michael Berry em um artigo publicado em 1984, enfatizando como as fases geométricas fornecem um poderoso conceito unificador em vários ramos da física clássica e quântica.^[2]

Fase de Berry e evolução adiabática cíclica

Na mecânica quântica, a fase de Berry surge em uma evolução adiabática cíclica.^[3] O teorema adiabático quântico se aplica a um sistema cujo hamiltoniano $H(\mathbf {R} )$ depende de um parâmetro (vetorial) $\mathbf {R}$ isso varia com o tempo $�$ . Se o $�$ 'ésimo autovalor $\varepsilon _{n}(\mathbf {R} )$ permanece não degenerado em todos os lugares ao longo do caminho e a variação com o tempo t é suficientemente lento, então um sistema inicialmente no autovetor próprio normalizado $\,|n(\mathbf {R} (0))\rangle$ permanecerá em um autovalor instantâneo $\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle$ do hamiltoniano $\,H(\mathbf {R} (t))$ , até uma fase, ao longo do processo. Em relação à fase, o estado no momento t pode ser escrito como^[4]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

|\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,

onde o segundo termo exponencial é o "fator de fase dinâmica". O primeiro termo exponencial é o termo geométrico, com $\gamma _{n}$ sendo a fase de Berry. Da exigência de que $|\Psi _{n}(t)\rangle$ satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, pode-se mostrar que

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,

indicando que a fase de Berry depende apenas do caminho no espaço de parâmetros, não da taxa em que o caminho é percorrido.

No caso de uma evolução cíclica em torno de um caminho fechado ${\mathcal {C}}$ de maneira que $\mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)$ , a fase de Berry de caminho fechado é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .

Um exemplo de sistema físico em que um elétron se move ao longo de um caminho fechado é o movimento do ciclotron (detalhes são fornecidos na página da fase de Berry). A fase de baga deve ser considerada para obter a condição de quantização correta.

Um sistema de mecânica quântica é um sistema no qual o comportamento de suas partículas pode ser explicado através da matemática incorporando a quatro princípios:

A quantização da energia; onde a troca de energia ocorre em pacotes de energia discreta e a transferência não é contínua, como descrito por Max Planck.
A dualidade matéria-energia, que primeiro foi considerada por James Maxwell que a luz é uma onda eletromagnética e, descoberto por Einstein, a natureza da partícula da luz. Doravante, a luz é considerada como tendo natureza dual.
O princípio da incerteza que estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física. Como Werner Heisenberg afirmou, em escalas microscópicas, a natureza em si não permite as medidas de posição e momento das partículas simultaneamente.
Finalmente, o princípio da correspondência onde todas as grandezas do do mundo quântico (usualmente microscópico) tem sua correspondência no mundo clássico. Como colocado por Niels Bohr: A física clássica e física quântica dão as mesmas respostas quando o sistema se torna grande^[1].

Definição matemática

Muito da compreensão da mecânica quântica pode ser obtida a partir da compreensão das soluções de forma fechada para a equação de Schrödinger não relativista dependente do tempo em um espaço de configuração apropriada. Em coordenadas cartesianas vetoriais $\mathbf {r}$ , a equação assume a forma:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$H\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left(T+V\right)\,\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}{\partial t}}$

em que $\psi$ é a função de onda do sistema, H é o operador hamiltoniano e T e V são os operadores da energia cinética e energia potencial, respectivamente. (Formas comuns desses operadores aparecem nos colchetes.) A quantidade t é o tempo. Os estados estacionários dessa equação são encontrados resolvendo-se a função de autovalores e autovetores (independente do tempo) da equação de Schrödinger,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\left(\mathbf {r} \right)\right]\psi \left(\mathbf {r} \right)=E\psi \left(\mathbf {r} \right)

ou qualquer formulação equivalente desta equação em um sistema de coordenadas diferente das coordenadas cartesianas. Por exemplo, sistemas com simetria esférica são simplificados quando expressos com coordenadas esféricas. Muitas vezes, apenas soluções numéricas para a equação de Schrödinger podem ser encontradas para um determinado sistema físico e sua energia potencial associada. Existe um subconjunto de sistemas físicos para os quais a forma das funções de autofunções e suas energias associadas podem ser encontradas.

Esses sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas estão listados abaixo.

Na mecânica quântica, o potencial delta é um poço de potencial matematicamente descrito pela função delta de Dirac - uma função generalizada. Qualitativamente, corresponde a um potencial^{[nt 1]} que é zero em todos os lugares, exceto em um único ponto, onde leva um valor infinito^[2].

Potencial delta único

A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda $ψ (x)$ de uma partícula em uma dimensão em um potencial $V (x)$ é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)~,

onde $ħ$ é a constante reduzida de Planck e $E$ é a energia da partícula.

O potencial delta é o potencial

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)~,

onde $δ (x)$ é a função delta de Dirac.

É chamado um potencial de poço delta se $λ$ é negativo e um potencial de barreira delta se $λ$ é positivo. O delta foi definido para surgir na origem por simplicidade; uma mudança no argumento da função delta não altera nenhum dos resultados procedentes^[3].

Calculando a função de onda

Para calcular a função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, primeiro substituímos V(x) = λδ(x), ficando com:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\frac {\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)=E\psi (x)$

Para x ≠ 0:

Da própria definição da função delta de Dirac, sabemos que V(x) = 0 para todo x ≠ 0. Assim, nesse intervalo, a equação de Schrodinger que governa essa região, será a seguinte:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\frac {\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)=E\psi (x)$

Cujas soluções já são conhecidas de outros exemplos mais simples (equação de onda para a partícula livre), que são:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\psi (x)=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}$

onde

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\kappa ={\frac {\sqrt {-2mE}}{\hbar }}$

Entretanto, essa combinação linear tem de satisfazer condições de contorno. A função de onda não pode ir a infinito em nenhuma direção. Então, escolhemos a solução $Ae^{\kappa x}$ para ser a solução para $x<0$ e $Be^{-\kappa x}$ para ser a solução para $x>0$ . Assim, a função de onda não tende ao infinito em nenhuma direção do espaço. Outra condição de contorno, será que a função de onda deve ser uma função contínua, desta forma, obteremos que $A=B$ e então, a equação de onda será dada por:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\psi (x)={\begin{cases}Ae^{\kappa x},&x<0\\Ae^{-\kappa x},&x>0\end{cases}}$

Para obter a constante de normalização, precisamos integrar o módulo ao quadrado da função de onda por todo de espaço, e exigir que este seja igual a 1 (ou seja, como o módulo quadrado da função de onda nos dá a função densidade de probabilidade de encontrar a partícula, integra-la por todo o espaço tem de nos dar 100% de chance da partícula estar em algum lugar do espaço).

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1$

Logo, como $|e^{x}|=e^{x},\forall x\in \Re$

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\int _{-\infty }^{0}A^{2}e^{2\kappa x}dx+\int _{0}^{\infty }A^{2}e^{-2\kappa x}dx=1\Rightarrow A^{2}(\int _{-\infty }^{0}e^{2\kappa x}dx+\int _{0}^{\infty }e^{-2\kappa x}dx)=1$

Assim, usando propriedades das exponenciais e das integrais e calculando-as:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$2A^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-2\kappa x}dx=2A^{2}({\frac {e^{-\infty }-e^{0}}{-2\kappa }})={\frac {A^{2}}{\kappa }}=1$

Então, a constante de normalização

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$A={\sqrt {\kappa }}={\frac {\sqrt {m\lambda }}{\hbar }}$

Assim, obtemos a função de onda normalizada:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\psi (x)={\frac {\sqrt {m\lambda }}{\hbar }}e^{-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}}|x|}$

Nível de energia

Para obter o nível de energia, devemos utilizar a equação de Schrödinger com o potencial delta:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)=E\psi (x)$

E então, integrar essa equação sobre o intervalo $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ , da seguinte forma:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\int _{-\epsilon }^{\epsilon }-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)dx=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }E\psi (x)dx$

Utilizando-se do fato da integração ser um operador linear, podemos separar o lado esquerdo em duas integrais:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\int _{-\epsilon }^{\epsilon }-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\lambda \delta (x)\psi (x)dx=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }E\psi (x)dx$

Então, sendo $-{\frac {\hbar }{2m}}$ constante, tiramos da integração, e, como a função de onda é bem comportada, podemos integrar a derivação, e, utilizando a propriedade de filtragem da delta de dirac na segunda integral, teremos:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {d\psi }{dx}}(\epsilon )-{\frac {d\psi }{dx}}(-\epsilon ))+\lambda \psi (0)=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }E\psi (x)dx$

Derivando a função de onda, se tem:

${\frac {d\psi }{dx}}(x)={\begin{cases}A\kappa e^{\kappa x},&x<0\\-A\kappa e^{-\kappa x},&x>0\end{cases}}$

Fazendo $\epsilon \rightarrow 0$ , o lado direito da equação tenderá a zero, pois o intervalo de integração tenderá a zero. A derivada da função de onda:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {d\psi }{dx}}(\epsilon )={\begin{cases}A\kappa ,&\epsilon <0\\-A\kappa ,&\epsilon >0\end{cases}}$

Assim, como $\psi (0)=A$ :

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(-2A\kappa )=\lambda A\Rightarrow \kappa ={\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}$

Como $\kappa ={\frac {\sqrt {-2mE}}{\hbar }}$ e isolando a energia, obteremos o nível de energia:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$E=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}$ ^[3]

Em física matemática, um potencial de Pöschl-Teller, em homenagem aos físicos Herta Pöschl e Edward Teller, é uma classe especial de potenciais para os quais a equação de Schrödinger unidimensional pode ser resolvida em termos de funções especiais.

Definição

Na sua forma simétrica sua definição é explicitamente dada por^[1]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)

e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)

com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição $u=\mathrm {tanh(x)}$ , que produz

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0

Assim as soluções $\psi (u)$ (são apenas as funções de Legendre $P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))$ com $E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}$ , e $\lambda =1,2,3\cdots$ , $\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda$ .^[2]^[3] Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados^[4]

No caso especial do inteiro $\lambda$ , o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.^[5]^[6]

A forma mais geral do potencial é dada por^[1]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$