MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [551]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

A intensidade de cada interação é definida pela sua constante de acoplamento, um parâmetro adimensional que serve para comparar as diferentes interações. No caso particular da interação eletromagnética, a constante de acoplamento é obtida a partir da expressão da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes divida pelor fator ħc.

$V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$

A constante de acoplamento da interação eletromagnética é também conhecida como a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ , já substituindo os valores das constantes. Na tabela a seguir são apresentadas características específicas de cada interação:[

O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional

Hamiltoniano, energia e autofunções

Funções de onda para os primeiros seis autoestados,

v=0{\mbox{ a }}7

. O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$ . Em mecânica clássica $\displaystyle k=m\omega ^{2}$ se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa $�$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$ .

O Hamiltoniano quântico da partícula é^[1]:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

onde ${\hat {x}}\,$ é o operador posição e ${\hat {p}}\,$ é o operador momento

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

////// $\left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)$ . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

{\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é^[2]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)

v=0,1,2,\ldots

onde $v\,$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções ( $v=0{\mbox{ a }}5\,$ ) se mostram na figura da direita. As funções $H_{n}$ são os polinômios de Hermite:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação ${\hat {H}}$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras $1/2$ , $3/2$ , $5/2$ , ... de $\hbar \omega$ . Este resultado é característico dos sistemas mecânico-quânticos^[2].

A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar \omega /2$ , e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.

A última razão é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o Princípio da correspondência.

Aplicação: moléculas diatômicas

Ver artigo principal: Molécula diatômica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por^[3]:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}

que se relaciona com a frequência angular mediante $\omega =2\pi \nu \,$ e depende da massa reduzida $\mu \,$ da molécula diatômica.

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante $�$ por $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral)

${\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em que $�$ é a unidade imaginária, $\hbar$ é a constante de Planck dividida por $2\pi$ , e o Hamiltoniano ${\hat {H}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa^[1]^[2]. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel^[3] (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo $S^{1}$ ) é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi

Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}

exigindo que a função de onda seja periódica em $\ \theta$ com um período $2\pi$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,Rd\theta =1\

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )

Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi R}}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)

Na mecânica quântica, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que se localiza dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes.

Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula se move em uma linha reta a uma velocidade constante até que rebate em uma das paredes. Ao rebater, a velocidade é alterada apenas na componente perpendicular à parede, que troca de sinal; o módulo da velocidade não se altera. Uma das soluções possíveis é uma partícula absolutamente estacionária, ou seja, com velocidade zero.

O problema se torna muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica quântica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. Entretanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida.

Descrição quântica do problema

O problema pode apresentar-se em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, ainda que o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, se representa por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa se define como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (ou seja, sua energia potencial é constante, ainda que sem perda de generalidade podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em termos de potenciais nos permite usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.

Contudo, se a análise deste problema fosse sob as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo; a probabilidade de se encontrar a partícula estaria diretamente relacionada ao tempo que a mesma percorre uma distância L. Com isso, infere-se que a probabilidade de se encontrar a partícula é igual em toda a caixa.

Já na mecânica quântica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa em cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível fazê-lo. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos o mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Postulados da mecânica quântica

Antes de se discutir sobre a partícula na caixa, é importante saber que para se resolver este problema, os conceitos e as aplicações dos postulados da mecânica quântica.

1º Postulado: a função de onda $\Longrightarrow$ A função de onda contém toda as informações para determinar o estado de um sistema. Por isso, ela tem que ser unívoca, contínua e de derivadas contínuas.

2º Postulado: operadores $\Longrightarrow$ Para toda e qualquer observável física há um operador linear e hermitiano.

Teorema 1:os autovalores do operador hermitiano são reais.

Teorema 2: as autofunções de um operador hermitiano são ortogonais.

3º Postulado: valores de observáveis $\Longrightarrow$ os valores possíveis a ser obtidos por medidas de uma propriedade física observável $�$ , são os autovalores $� �$ da equação de autovalor ${\widehat {C}}fi=cifi$ , em que ${\widehat {C}}$ é o operador que corresponde à propriedade observável $�$ e $� �$ são as autofunções do operador ${\widehat {C}}$ .

4º Postulado: valor médio $\Longrightarrow$ Sendo $\psi (x,t)$ uma função de estado do sistema normalizada, logo o valor médio da observável $�$ no tempo é

5º Postulado: evolução temporal $\Longrightarrow$ O estado de um sistema quântico não perturbado tem sua evolução temporal dada por:

Caixa unidimensional

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma caixa unidimensional, na qual a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários, é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

-{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)

[1]

Considerando que o potencial infinito fora da caixa (regiões I e III), o que anula a função de onda, tem-se:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$\psi (x)={\cfrac {1}{\infty -E}}{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}$

\psi I=\psi III=0

em que

\hbar

é a Constante reduzida de Planck,

m\,

é a massa da partícula,

\psi \left(x\right)\,

é a função de onda estacionária independente do tempo^[1] que queremos obter (funções próprias) e

E\,

é a energia da partícula (valor próprio).

Para o interior da caixa, região II, em que o potencial é zero, tem-se:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Visando garantir o primeiro postulado da mecânica quântica, a função de onda, quando $x=0$ e $x=L$ , tem que ser igual a $0$ . Obedecendo às seguintes condições de contorno:

$\lim _{x\to 0}\psi I=\lim _{x\to 0}\psi II$

$\lim _{x\to L}\psi II=\lim _{x\to L}\psi III$

As funções próprias e valores próprios de uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional de comprimento L são:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{com}}\ n=1,2,3,...

Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.

Nota-se que só são possíveis os níveis de energia quantizados. Além disso, como n não pode ser zero (pois isso implicaria em uma descontinuidade da função e, assim, violando o 1º postulado), o menor valor da energia tampouco pode sê-lo. Essa energia mínima se chama energia do ponto zero e se justifica em termos do princípio de incerteza. Devido à restrição da partícula em mover-se em uma região finita, a variância da posição tem um limite superior (o comprimento da caixa, $�$ ). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a variância do momento da partícula não pode ser zero e, portanto, a partícula deve ter uma certa quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

A densidade de probabilidade ( $\psi ^{2}$ ) de se encontrar a partícula na caixa difere de acordo com seu estado de energia. A figura ao lado mostra a função de onda da partícula na caixa para cada estado de energia. Elevando essa função ao quadrado, pode-se estimar onde se tem a maior chance de localizar a partícula. Por exemplo: elevando a função de onda de $n=1$ , a chance de se achar a partícula no centro da caixa é grande, mas, conforme for indo para as extremidades da caixa, essa chance diminui até ser nula. Já para $n=2$ , a chance de se encontrar a caixa tanto no centro quanto nas extremidades é nula. A parte negativa da função fica positiva, já que se eleva ao quadrado, e com isso, aparece duas regiões com a mesma densidade de probabilidade. E assim por diante de tal forma que o número quântico $�$ aumenta tanto que o comportamento quântico da partícula começa a reproduzir o comportamento clássico, de acordo com o princípio da correspondência.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

$-{\cfrac {\hbar }{i}}{\cfrac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}\psi$

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////: $\langle {\hat {C\rangle }}=\int \psi *{\widehat {C}}\psi dt$

Na física, uma partícula livre é uma partícula que, em certo sentido, não está vinculada por uma força externa, ou equivalentemente não está em uma região onde sua energia potencial varia. Na física clássica, isso significa que a partícula está presente em um espaço "sem campo". Na mecânica quântica, significa uma região de potencial uniforme, geralmente modulada para zero na região de interesse, uma vez que o potencial pode ser arbitrariamente arranjado para zero em qualquer ponto (ou superfície em três dimensões) no espaço.

Descrição matemática

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica é caracterizada simplesmente por uma velocidade fixa v. O momento linear é dado por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

e a energia cinética, que é igual à energia total, é dada por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}

onde m é a massa da partícula e v é o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre quântica

Uma partícula livre na mecânica quântica (não relativística) é descrita pela equação de

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)

onde ψ é a função de onda da partícula na posição r e tempo t. A solução para uma partícula com momento p ou vetor de onda k, na freqüência angular ω ou energia E, é dada pela onda plana complexa:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

\psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

com amplitude A. Como para todas as partículas quânticas livres ou ligadas, o princípio da incerteza de Heisenberg

\Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar

(da mesma forma para as direções y e z) e as relações De Broglie:^[1]:

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega

se aplicam. Como a energia potencial é adotada como zero, a energia total E é igual à energia cinética, que tem a mesma forma da física clássica:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega

Há várias equações que descrevem partículas relativísticas: veja equações de onda relativísticas.^[2]^[3]^[4]^[5]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

Schrödinger livre:

O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos.^[1] Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.^[2]^[3]^[4]

Equação de Schrödinger

Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular $\phi$ ) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},

U=mgl(1-\cos \phi ).

Isso resulta no Hamiltoniano

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).

A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi }{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .

É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:

\eta =\phi +\pi ,

\Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },

E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .

Esta é a equação de Mathieu.^[5]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} \eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,

onde as soluções são as funções Mathieu.^[6]^[7]^[8]

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MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [551]

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